Testuali parole

La quadratura del cerchio nel Duomo di Pisa

Categoria: Architetti, architettura e design

Pubblicato 28 Giugno 2014

di Nicola Belcari

Visite: 7604

“Qual è ‘l geometra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige”

Dante, Paradiso XXXIII, vv.133-135

Piazza dei Miracoli e la Rinascenza

Capitava talvolta che un giudizio grossolano e ignorante, oggi disusato, attribuisse a Pisa una sola attrattiva: la Torre pendente. In realtà Piazza dei Miracoli è un complesso monumentale straordinario nel quale l’opera più importante è la prima a essere costruita: il Duomo, che alla fine ispira le altre, le unifica visivamente e strutturalmente, le lega a sé con gli stessi elementi caratterizzanti il linguaggio architettonico, il Romanico pisano, in esso già tutti presenti.

Il mirabile edificio nell’insieme e nei dettagli, inesauribili, appare uno scrigno posato sul prato perfettamente piano e sempre verde che esalta il nitore del marmo: “Non habet exemplum niveo de marmore templum” ¹.

Esso accoglie influenze diverse e ne è una felice e originale fusione; un punto d’incontro tra Tradizione e Presente, tra Ovest e Oriente.

Contiene tre chiese in una (con funzione liturgica anche diversa): il corpo principale, diviso da cinque navate e le due parti in cui si separa il transetto composto da tre navate.

Comincia col tempo della vita, il Duomo, quel percorso ideale che va dalla nascita alla morte rappresentato dal Battistero e dal Camposanto.

A Pisa inizia la “rinascenza”.

La città orgogliosa dei propri successi marinari intraprende l’ambiziosa edificazione di opere in grado di rivaleggiare con quelle corrispondenti delle più potenti città del tempo; inizia con la costruzione della Cattedrale, alla quale seguono il Battistero e il Campanile per poi chiamare i migliori artisti dell’epoca e riunirli nel cantiere del Camposanto, oggi purtroppo menomato dai danneggiamenti della Seconda guerra mondiale (una perdita sciagurata).

Se per la Rinascenza delle arti figurative fu determinante la scultura, andrebbe ricordato il ruolo avuto da Nicola Pisano, che ispirandosi all’arte classica dei sarcofagi fatti arrivare da Roma, ne ripropone alcune figure nel primo pulpito, quello del Battistero, come ad esempio la Madonna dall’aspetto di una matrona recumbente, e presenta di nuovo la nudità con valore positivo, nella figura della Fortezza, che ha la stessa posizione del corpo del David di Michelangelo.

Nel Camposanto, inoltre, il Cristo del Giudizio Universale, opera del pittore fiorentino Buffalmacco, ha il medesimo gesto dell’omologo soggetto e personaggio della Volta della Sistina.

Firenze era vicina e del resto molti artisti da tale città provenivano.

Le proporzioni del Duomo

L’apparato decorativo del Duomo non si nota nella sua dovizia che risulta riassorbita nella visione d’insieme; esso presenta cerchi tassellati, figure geometriche di struttura circolare composte da triangoli di colori diversi, esagoni, forme stellari e tra queste il fiore della vita² che sarà poi disegnato da Leonardo.

Sono quindi molti i temi geometrico-matematici, oltre alle sculture vegetali e animali, anche bizzarre, nell’ornamentazione del Duomo della città che sarà di Galileo.

Ma nella struttura generale dell’opera l’impostazione geometrica rilevante si può rintracciare in particolare negli schemi della facciata, prossima al quadrato, e nella pianta. Quest’ultima infatti potrebbe rivelare un rapporto ispirato alla quadratura del cerchio.

Con buona approssimazione si può verificare che la navata e il transetto del Duomo sono in rapporto tra loro in maniera tale che l’area del rettangolo avente per lati la lunghezza della navata e quella del transetto, è uguale all’area del cerchio che ha per diametro la lunghezza della navata. Ciò si può esprimere con la formula L*T = L*L/4* π (dove T = transetto e L = navata). Il rapporto tra le dimensioni risulta così essere: T = L* π/4 o anche L = 4 * T/π.

Il transetto risulta rispetto alla navata: T = L * 0,785… (così come l’area di un cerchio è lo 0,785… dell’area del quadrato circoscritto).

Con altri punti di riferimento è possibile costruire anche un quadrato avente la stessa area; sia il cerchio sia il quadrato sono tangenti alle absidi minori e le comprendono.

Le tre figure geometriche equivalenti disegnate sulla pianta evidenziano in modo immediato l’assunto, meglio delle parole.

Usando la planimetria estremamente precisa di P. Sanpaolesi³, le misure interne, da parete a parete con esclusione dello spessore murario e senza considerare le absidi, risultano rispettivamente per la navata e il transetto circa metri 84 e 65,5.

Moltiplicando la misura della lunghezza per 0,785 otteniamo una misura del transetto che varia rispetto a quella reale dai 20 ai 60 centimetri. Non è semplice come parrebbe stabilire le dimensioni univoche: le pareti presentano sporgenze e rientranze e occorre fissare punti di riferimento comuni.

Le varie misure sono state verificate sulla fotocopia di una pianta assolutamente attendibile, fedele al centimetro e relativamente grande, ma per le misure reali occorrerebbero ulteriori approfondimenti e controlli, che sono però ininfluenti rispetto al rapporto transetto-navata constatabile sulla pianta.

Tra parentesi osserviamo che la maggior parte delle piantine riportate dai manuali o altri testi sono schematiche e imprecise: in generale tendono a “raddrizzare” le pareti del monumento, che invece presenta ad esempio una notevole “svasatura” nel corpo della navata, più stretta alla crociera, più larga verso la facciata, e in misura minore lo stesso fenomeno è presente nel transetto. È stato notato a questo proposito che non ci sono angoli perfettamente retti in nessuna delle parti della costruzione.

Il Duomo di Pisa è costruito forse “semplicemente” con l’uso di un modulo, di un’unità di base ripetuta? In tale caso perché non impiegare multipli che rispondano a una ragione simbolica?

Alla ricerca di un possibile “modulo”, se trasformiamo in frazione 0,785…(π/4) otteniamo 22/7 (vicino a π, la migliore approssimazione, ben conosciuta fin dall’antichità) diviso 4, che è uguale a 22/28, cioè 11/14. Dunque, il modulo potrebbe essere la pertica pisana, corrispondente a poco meno di 3 metri, da moltiplicare per 28 (la navata) e per 22 (il transetto) con misure totali inferiori, però prossime, a quelle reali.

Non molti decenni dopo l’allungamento della chiesa, Leonardo Fibonacci, le cui cognizioni dovevano necessariamente avere radici nell’ambiente culturale locale, scriveva a proposito del rapporto 11/14 di cui ci occupiamo: “ Et questa reghula delle panora è buona a Pisa, ma l’altre reghule sono buone in ogni parte perché ogni cerchio, a ogni misura, si è 11/14 del quadrato del suo diametro”⁴.

L’influenza della cultura araba nell’opera del celebre matematico pisano è nota e sappiamo che il finanziamento decisivo per il Duomo giunse grazie a una vittoria a Palermo contro i Saraceni (con i quali i rapporti non erano solo di conflitto). La Cattedrale si ispira a motivi arabi, siriaci, armeni oltre a quelli tradizionali dell’Occidente e quindi possiamo ipotizzare che essa possa aver ispirato certe riflessioni matematiche e spinto verso la conoscenza di un diverso mondo culturale.

Da notare che tra le eccezionali e numerose proprietà matematiche della successione di numeri ideata da Fibonacci, non ultima per importanza è quella di esprimere un rapporto con numeri interi molto vicino a quello della sezione aurea, soprattutto con i numeri più alti della serie. Infatti se la differenza tra il quadrato di uno qualsiasi dei numeri (il medio proporzionale del rapporto aureo) e il prodotto tra il numero che precede e quello che segue è sempre uno, alternativamente positiva e negativa nella successione, è evidente che con i numeri molto alti tale differenza diventa empiricamente quasi trascurabile (la dimostrazione scientifica relativa è di Keplero).

Se può avere un significato, la somma di 11e 14 è 25, quadrato pitagorico e numero ricco di significato simbolico; tre numeri presenti in una sequenza di 4 (simbolo della terra) e 3 (simbolo del cielo) regolarmente alternati: 4+3(7)+4(11)+3(14)+4+3+4 (25). Il 25, Dies natalis di Cristo, uomo e Dio, Egli stesso personificazione della quadratura del cerchio, unione di incommensurabili entità.

Il 25, poi, a Pisa iniziava l’anno, ab incarnationeChristi, il 25 di marzo, ricorrenza dell’Annunciazione, data prossima all’inizio della primavera e alla rinascita della natura. Pure a Firenze tale data costituiva il capodanno, quantunque quello pisano anticipasse e quello fiorentino invece posticipasse rispetto al calendario romano.

A Pisa la rilevanza attribuita a questo giorno è testimoniata anche da decorazioni costituite da teste d’ariete (segno zodiacale del primo mese), stilizzate o naturalistiche, diffuse un po’ ovunque quale ornamenti di elementi architettonici.

È stato sostenuto (con fondamento?) che le tre opere principali della Piazza rispecchierebbero la posizione delle stelle più luminose e caratterizzanti la costellazione omonima.

A mezzogiorno del 25 marzo un raggio di sole attraverso un oculo colpisce un ovolo, simbolo di rinascita, che si trova su un pilastro portante della cupola, lì posto per tale scopo.

Buscheto aveva realizzato una chiesa con la navata lunga poco più del transetto, quasi a croce greca, sia pure non intersecante a metà la navata. Rainaldo, autore dell’allungamento di alcune campate del corpo principale della chiesa e della facciata, si sarà posto il problema della scelta delle nuove dimensioni del monumento, di nuovo e con criterio diverso rispetto all’architetto suo predecessore, e come lui non condizionato dai vincoli di spazio di costruzioni vicine: quale criterio adottare?

L’architettura da sempre, e soprattutto dai Greci in poi, ha cercato il segreto della bellezza anche nelle proporzioni degli edifici e spesso l’ha fatto ispirandosi al corpo umano, considerato un microcosmo ed espressione di armonia (dal Canone greco, all’uomo vitruviano, alle teorizzazioni del Rinascimento) stabilendo tra esso e il progetto architettonico parallelismi: un concetto ben evidenziato dai disegni di vari autori, Francesco di Giorgio Martini, Cesare Cesariano, Leonardo da Vinci.

La forma a croce latina esprime già di per sé una ragione simbolica: è la Croce del Sacrificio e della Salvezza. Una croce è sia nella pianta, sia nella sezione verticale avente per bracci minori la cripta e l’interno della cupola⁵.

Nella croce latina, un “memoriale” della passione di Cristo, se le braccia distese misurano come l’altezza, di quanto dovrà essere più lunga del transetto la navata? A quale ragione, o esigenza, costruttiva, simbolica, estetica, risponderà tale proporzione?

Il problema della quadratura del cerchio ha affascinato e sedotto generazioni di matematici, filosofi, artisti e mistici che si sono affaticati intorno all’arcano per secoli, da Archimede fino a F. von Lindemann, colui che nella seconda metà dell’Ottocento dimostrò l’impossibilità della soluzione. Potrebbe aver ispirato una scelta?

Non s’intende sostenere perentoriamente l’intenzionalità di tale proporzione, dato che tra mille possibilità non è difficile trovare “un rapporto”, una coincidenza. L’ipotesi può prescindere parzialmente dalle vicende costruttive essendo comunque una relazione che è nelle misure definitive e che sarebbe forse più curioso spiegare solo nei termini di pura casualità. Del resto, sono annose le discussioni sull’organicità e sull’unitarietà del progetto e la critica più approfondita per conoscenze specifiche propende per l’esistenza di una visione generale.

È vero che gli estremi delle dimensioni interne sono visibili contemporaneamente solo dalla crociera e dall’esterno solo in parte è possibile cogliere l’eventuale armonia, del resto parziale e limitata all’aspetto che da quel rapporto deriverebbe, ma voluto o no quel rapporto è lì, materiale o ideale, consapevole o fortuito.

L’“euritmia” della fabrica è frutto d’occhio e d’esperienza, di istintive risoluzioni disancorate da leggi matematiche escogitate a freddo? Ma pure così, comunque potrebbe configurarsi, almeno per la parte relativa alle dimensioni transetto-navata, come una “conseguenza” di quel rapporto, come una significativa e curiosa conferma “scientifica” dell’intuito artistico del progettista, Rainaldo, magister.

Note al testo