Testuali parole

Numeri primi: una solitudine solo apparente.

• 

Categoria: Testuali parole

Pubblicato 07 Novembre 2024

di Walter Cardellini

Visite: 1380

 

Molti lettori ricorderanno il noto romanzo “La solitudine dei numeri primi” di Paolo Giordano (Arnoldo Mondadori Editore, 2008). Come il titolo del libro rivela, l’autore adotta una brillante metafora sui numeri primi, perfettamente calzante con la storia narrata: le vite parallele di Alice e Mattia, due anime solitarie che, nonostante le affinità spirituali ed affettive, non riescono a vincere la distanza che li separa e la solitudine che da essa deriva. Proprio come accade in matematica con le coppie di numeri primi contigui.  

L’idea di seguire la scia di una brillante intuizione letteraria, capace di creare un ponte ideale tra mondo dei numeri e umani sentimenti, non ha tardato a farsi sentire.

Siamo partiti da due domande pressoché scontate: cosa sono in realtà questi numeri primi attigui, percepiti come silenti messaggeri di solitudine? Di rimando un piccolo dubbio: sono davvero così soli come dicono?

Nonostante le scarse reminiscenze matematiche dello scrivente, eredità di una scuola ormai lontana nel tempo, rispondere alla prima domanda non è stato troppo difficile. Assai più impegnativo è stato il confronto con la seconda.

I numeri primi, per loro natura, sono elementi un po’ esclusivi. Conosciuti già ai tempi di Euclide o forse prima, pare svolgano un ruolo importante nel mondo dei numeri. I matematici infatti affermano che, grazie ad essi, sia possibile risalire a qualsiasi numero intero positivo.

Segni particolari dei numeri primi: amano distinguersi dal resto degli altri numeri per il fatto di essere divisibili solo per 1 o per se stessi. Se ne conoscono a miliardi, del tipo... un numero seguito da 25 cifre o giù di lì. Cifre da capogiro insomma! Del resto, come lo stesso Euclide dimostrò, i numeri primi sono infiniti. Ad un veloce sguardo, li troviamo posizionati in modo irregolare lungo l’interminabile fila dei numeri interi positivi che, partendo da zero, marciano ordinati verso l’infinito.

In realtà, dietro l’apparente ordine della figurata “formazione”, pare nascondersi qualcosa che non quadra come dovrebbe: la mancata regolarità con cui i numeri primi appaiono. Lo sostengono matematici di tutto rispetto. Tra questi Paolo Alessandrini che nel suo simpatico libro titolato “Matematica Rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin” (Editore Ulrico Hoepli S.p.A, Milano, 2019) a pagina 26 così scrive:

“… date un’occhiata a come i numeri primi sono distribuiti tra i numeri naturali compresi tra 2 e 100: (nel libro segue tabella). Scorgete un’ordine, una regolarità? Una prima caratteristica che balza all’occhio è che tutti questi numeri sono dispari, con l’eccezione del “primo primo”, il 2, che è pari. Questa proprietà vale in generale per tutti i numeri primi, però non dice molto sul criterio con cui questi numeri sono distribuiti lungo la semiretta dei numeri naturali. A volte, infatti, le coppie di numeri primi contigui sono separate da un solo numero naturale (per esempio il 59 e il 61), ma altre volte sono più distanziate (per esempio tra 89 e 97 c’è una distanza di 8). Più ci si scervella per trovare una logica e più si rimane delusi: sembrano sparpagliati a caso, come i numeri estratti al lotto o come un battito cardiaco affetto da aritmia. O, se preferite, come i colpi suonati da un batterista scadente.” Aggiunge poi: “In effetti questo problema matematico ha tenuto in scacco le più grandi menti della matematica fin dai tempi di Euclide e le ossessiona ancora oggi: capire se esista una formula che riesca a descrivere in generale la cadenza con la quale questi numeri appaiono e quindi a predirne la posizione.”. “Va dunque cercata…” auspica il matematico, “una creativa ricerca di senso e di ordine nell’apparente caos.”. L’invito di Alessandrini era allettante. Se non altro per le intriganti questioni che l’argomento sollevava. Spazi per alcune riflessioni personali sul tema parevano esserci per cui, non ci siamo sottratti al confronto. Prima di iniziare la nostra avventura nel mondo dei numeri primi e i loro segreti, non potevamo esimerci dal ricordare le affinità esistenti tra sentimenti, matematica ed arti visive in genere. Trovare ovvero un trait d’union tra le parti, in grado di dare una visuale più ampia del problema, nella sua complessità.

Jacob Vrel, Giovane donna in un interno

Jean Baptiste Carpeaux, Solitudine, Foresta

Edward Hopper, Cinema a New York

Edvard Munch, L'Urlo

Non sprigionano forse sensazioni di profonda solitudine opere come la “Giovane donna in un interno”[1] di Jacob Vrel; “Solitudine, Foresta”[2] di Jean Baptiste Carpeaux; “Cinema a New York”[3] di Edward Hopper o “L’Urlo”[4] di Edvard Munch?

Claudio Cerritelli, nella sua prefazione al libro “Arte e Matematica”[5] di Bruno D’Amore, sottolinea: “Quello che l’autore dichiara è il costante colloquio tra l’espressione artistica e matematica attraverso modalità collegate da fantasia, immaginazione e creatività, strumenti d’invenzione che da un preliminare piano teorico astratto si spingono verso i confini illimitati della conoscenza…”, aggiungendo: “L’ingresso della matematica nel campo della rappresentazione artistica è delineato attraverso molteplici contesti di riferimento, dalla grafica alla pittura, dalla scultura all’architettura, con alcune incursioni anche nella sfera della fotografia e del cinema, della letteratura e della musica, nonché della filosofia.”.

Questo è ciò che abbiamo riscontrato durante il nostro percorso che si sviluppa, appunto, in una sorta di slalom tra forme artistiche e modelli matematici.

Se la sequenza aritmetica elaborata dal matematico Fibonacci [6] ha ottenuto vasto consenso nel mondo dell’arte e dell’architettura per avere introdotto il rapporto aureo legato al numero irrazionale Φ (1,618…), i numeri primi, per altri versi, non sono stati da meno. La loro enigmatica, sfuggente realtà, non ha mancato di suscitare vivo interesse tra matematici ed artisti di ogni epoca, aprendo inattese porte alla creatività.

E’ il caso dell’artista Tobia Ravà e le sue opere, esposte a Matera in una mostra personale dal titolo “La poetica dei numeri primi – Elementi di calcolo trascendentale”.

Tobia Ravà, Boscone dei numeri primi

Tobia Ravà, Vortice dei numeri primi

 

Intervistato da Chiara Serri sui contenuti del suo lavoro, basato sul rapporto tra arte e matematica, Ravà dichiara: “Il mio interesse per i numeri nasce dal fatto che le lingue antiche hanno un rapporto lettera-numero determinato spesso da un percorso logico. Avendo poi studiato a Bologna semiologia delle arti con Omar Calabrese e Umberto Eco, decriptare il mondo del visivo attraverso pixel non digitali ma analogici pitagorici è stato per me, sin dalla metà degli anni novanta, entusiasmante come la scoperta di un codice segreto.”. Alla domanda “Come viene tradotto il numero in immagine?” Ravà risponde: “Ogni numero è una porta quindi le sequenze, tipo quella di Fibonacci o dei numeri primi oppure i numeri dopo la virgola del Pi greco, sono i mattoni con i quali costruire le mie immagini oppure il modo di scomporle ai minimi termini.”.[7]  

Altro artista che ha fatto dei numeri primi l’oggetto centrale del proprio discorso artistico è Enzo Bersezio. Nel 2017, le opere di Bersezio sono state esposte a Roma in occasione di una mostra dal titolo “Intorno ai numeri primi”.

E. Bersezio, Geografie B

E. Bersezio, Poesia dei numeri primi

 

Gianni Maria Tessari, in un articolo pubblicato su “Olimpia in scena, lo spettacolo è di tutti”,[8] descrive l’arte di Bersezio in questi termini:

“Il lavoro artistico di Enzo Bersenzio (1943) può essere definito essenzialmente, e per eccesso, materico matematico. L’essenza dei numeri primi “riempie”, con il suo significato codificato, la materia e ne offre una visione prospettica profondamente diversa da quella ottenuta usando un linguaggio verbale. Con i numeri e i simboli matematici, si possono ottenere maggiori “distanze” e diverse prospettive di “visione”, utili a noi esseri umani per giungere a una più completa capacità di conoscenza e “controllo della materia stessa, quindi della realtà. Quando il linguaggio verbale raggiunge il suo “finito”, interviene la matematica dei numeri, pregnanti quelli primi, per consentire l’evolversi di un linguaggio idealmente infinito. Il termine “idealmente” è qui usato per sottolineare la possibilità che hanno i numeri di raggiungere l’infinito anche se parallelamente permane la nostra impossibilità di interiorizzarne interamente il significato. Senza nulla togliere alle opportunità che i numeri e i segni (matematici e geometrici) offrono alla ricerca scientifica...”. 

Tra gli artisti che meglio hanno saputo rappresentare gli intrecci tra arte e matematica, questi è sicuramente il pittore olandese Maurits Cornelis Escher (1898-1972).

“Per me rimane una questione aperta se questo lavoro appartiene al regno della matematica o a quello dell’arte”.

Così Escher definiva il suo lavoro, basato su prospettive impossibili, sperimentazioni ardite e motivi di mutevoli geometrie interconnesse.
Ispirato dal mondo della matematica, Escher affronta aspetti ad essa legati come simmetria, trasformazione, ripetizione, infinito.

Maurits Cornelis Escher, L’illusione dell’infinito

 

Lo studio dei numeri primi, sotto il profilo artistico, ha preso molteplici direzioni. Non mancano neppure proposte di tipo diverso rispetto a quelle qui indicate.

Viviamo tempi dominati dalla tecnologia, dei pixels che consentono di costruire suggestive immagini digitali. Nuovi percorsi artistici che all’occorrenza, possono esitare in progetti non solo interessanti nei contenuti ma anche esteticamente apprezzabili. Fatta questa breve premessa, è il momento di entrare nel merito della componente matematica dell’argomento.  

Per un iniziale, semplice consulto, proponiamo a nostra volta una tabella dei numeri naturali da 1 a 100 con i numeri primi evidenziati in rosso.

Con l’ausilio di questo elenco, la nostra avventura nel mondo dei numeri primi poteva iniziare, confortati dal fatto che non si sarebbe partiti da zero.

Esistono infatti  interessanti studi e congetture sui numeri primi formulati da eminenti studiosi, come il matematico prussiano Cristian Goldbach (1690-1764) o il matematico svizzero Leonhard Euler, l’italiano Eulero (1707-1783). Senza contare i contributi di altri illustri matematici che si sono succeduti nei secoli, fino ai tempi nostri.

Cristian Goldbach, matematico (1690-1764)

Leonhard Euler, matematico (1707-1783)

 

Prendiamo in esame la cosiddetta “Congettura di Goldbach”. Si apprende che Goldbach, nel 1742, scrisse una lettera ad Eulero per sottoporgli una sua congettura dove sosteneva che: 

“ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.”.

Questa verrà denominata “Congettura debole di Goldbach” ma anche “Problema sui dispari o dei 3 primi”. La teoria stabilisce che tutti i numeri interi superiori a 5, siano essi primi oppure no, possono essere calcolati tramite operazioni di addizione con tre numeri primi. Eulero, presa visione del problema, rispose al matematico riformulando la cosa in una versione equivalente che  implicava la precedente congettura dei “3 primi”:

“Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi”.[9]

Questa versione, partorita dalla mente dei due matematici, sarà quella definitiva e prenderà il nome di “Congettura forte di Goldbach”.

Wikipedia riferisce che in matematica, tale congettura, costituisce “uno dei più vecchi problemi irrisolti nella teoria dei numeri”. Pare che finora non siano state sollevate eccezioni al riguardo ma che, al contempo, non sia stato neppure possibile dimostrare il contrario di quanto affermato. Per chiarire il concetto, riferito ai numeri pari, basta dare uno sguardo agli esempi che in quella sede vengono proposti: 4=2+2; 6=3+3; 8=3+5; 10=3+7=5+5; ecc..

Lasciamo al lettore più interessato la facoltà di approfondire in proprio certe questioni troppo complesse nel loro sviluppo per essere trattate in questa sede.

Già da qui, si evince che tra numeri primi e numeri pari, esiste una sorta di legame matematico che pare avvicinarli. Anche i cosiddetti numeri primi “gemelli”, quelli che differiscono tra loro di due sole posizioni, hanno qualcosa da condividere: il numero pari chiuso all’interno delle varie coppie (come il numero pari 12 sta in mezzo ai numeri primi 11 e 13 per capirsi).

Numeri pari appartenenti a coppie diverse che sembrano rispondere ad una precisa cadenza basata su distanze di 6 e multipli di 6. La stessa che ritroviamo tra numeri primi gemelli di coppie distinte o singoli numeri primi per così dire, “solitari”. Pare infatti che tutto il mondo dei numeri primi ruoti attorno al numero 6 e suoi multipli. Una sorta di regola matematica che sta alla base dello strano criterio di posizionamento assunto da questi numeri. Aspetto che suscita sorpresa per il fatto di fare emergere ordine in un contesto apparentemente disordinato. Stiamo parlando del criterio di posizionamento.

Schema della distribuzione dei numeri primi (in rosso).[10]

 

Wikipedia riporta che esistono numeri primi separati da sei posizioni, ironicamente chiamati “sexy”, dal termine latino “sex”, riferito al nome dato all’epoca al numero 6. Si tratta di accostamenti tra numeri primi esprimibili con la formula (p, p+6), da non confondere con la natura delle coppie di numeri primi gemelli (p, p+2). Vengono proposti esempi di numeri primi separati da distanze di 6 come tra 5-11, 7-13, 11-17, 13-19… ecc.. Ci sono poi le terzine 7-13-19, 17-23-29, 31-37-43… ecc., le quadruple 5-11-17-23, 11-17-23-29… ecc. ed una quintupla 5-11-17-23-29.[11]

Siamo in presenza di gruppi distinti, seppure accomunati dal fatto che ospitano numeri primi legati l’uno all’altro da sei posizioni.

Ad integrazione di tale realtà, proponiamo un diverso tipo di approccio al problema. Si tratta di applicare un conteggio progressivo che va a sua volta di 6 in 6.

Conteggio da eseguire in due fasi distinte, seppure identiche nelle modalità esecutive. Relativamente alle coppie di numeri primi gemelli, la cadenza applicata (6 e multipli di 6), finisce per interessare tutte le 34 coppie presenti, eccetto la coppia 3-5 (non pertinente alla nostra ricerca). La seguente tabella mostra le coppie di numeri primi gemelli presenti nella semiretta dei numeri naturali fino al numero 1000. Riporta tra parentesi le loro reciproche distanze. Rileviamo i seguenti dati: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 150 (dati qui riportati in ordine non sequenziale rispetto alla realtà della tabella):

Merita sottolineare che il metodo adottato, consente di raggiungere non solo le coppie di numeri primi gemelli ma anche tutti i restanti numeri primi ad esse estranei, situati lungo la semiretta dei numeri naturali, fino al numero 1000, dove si ferma la nostra indagine (168 numeri primi in tutto).[12] Cadenza che pare persistere oltre il limite del numero 1000 indicato. Il conteggio in questione, nel suo incedere, va a cadere anche su numeri dispari non primi. Ciò non comporta conseguenze di alcun tipo sulle finalità prefissate. Per facilitare la comprensione di quanto detto, proponiamo un altro prospetto dedicato a tutti i numeri primi raggiunti durante le due distinte fasi di conteggio per 6.

Quelli riferiti alla prima fase, prendendo a riferimento il numero primo 5 (in realtà si inizia a contare dal numero naturale 6), sono evidenziati in colore blu. Quelli della fase successiva, rapportati al numero primo 7 (idem, la conta inizia però dal numero naturale 8), in colore arancio.

 

 E’ forse sbagliato accostare questa regolarità matematica ad un ipotetico “stargate” in grado di condurci verso i segreti insiti nella mancata regolarità con cui i numeri primi appaiono? Lasciamo in sospeso la domanda, nella speranza che un giorno qualcuno trovi la giusta risposta.

Restando sulla disposizione assunta dai numeri primi lungo la semiretta dei numeri naturali, merita attenzione la cosiddetta “Spirale di Ulam”, “una semplice rappresentazione grafica dei numeri primi che rivela una trama non ancora pienamente compresa.”.[13] L’ideatore, Stanislaw Ulman, notò che i numeri primi tendevano a porsi lungo diagonali concentrandosi su alcune piuttosto che su altre.

Numeri primi. Spirale di Ulam

Tornando al tema di partenza, la proverbiale solitudine letteraria dei numeri primi gemelli e dei loro compagni di viaggio, strada facendo, pare aprirsi a qualcosa di diverso. Può anche accadere, complice la casualità, che il confronto tra due numeri primi possa assumere caratteristiche straordinarie ed inattese.

E’ il caso dei numeri primi 199 e 137, entrambi gemelli ma appartenenti a coppie distinte. Dal loro rapporto diretto e inverso emergono due dati: in un caso 1,452… (199:137), nell’altro 0,688… (137:199). Risultati che coincidono con il rapporto proporzionale esistente tra apotema e lato in un comune pentagono regolare (in verità sussiste uno scarto di pochi decimillesimi). Fa comunque fede il numero 0,688 che ricorda il valore del numero fisso (f=a/L), una sorta di biglietto da visita del poligono in questione. Circostanza presa ad esempio per dire quanto sia difficile, talvolta, indagare sul linguaggio presente tra numeri e i suggestivi accostamenti che da questo, possono scaturire.[14]

Lasciando casualità o velate verità al loro corso, merita soffermarsi ancora un po’ sulle distanze presenti tra le varie coppie di numeri primi gemelli e singoli numeri primi “solitari” che si susseguono, tutte legate a cadenze di 6 e multipli di 6.

Al riguardo, esistono coincidenze matematiche[15] che chiamano in causa l’ambito della geometria piana, quella che ruota attorno ai valori delle ampiezze angolari dei poligoni espresse in gradi d’arco, per intendersi.[16]

Una realtà parallela che rivela cadenze analoghe a quelle osservate tra numeri primi.

Entriamo nel merito della questione: 
la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo ammonta a 180° (30 volte 6) ovvero, l’ampiezza di un angolo piatto. 
Nel triangolo equilatero ciascun angolo interno misura 60° (10 volte 6).
Nel triangolo rettangolo, se ricavato dalla metà di un triangolo equilatero, avremo tre angoli interni di ampiezza diversa: uno di 90° (15 volte 6), uno di 60° (10 volte 6) e uno di 30° (5 volte 6).[17]
Nel pentagono regolare, la somma degli angoli interni ammonta a 540° (90 volte 6) mentre ogni singolo angolo, al suo interno, misura 108° (18 volte 6).
Per l’esagono abbiamo una somma degli angoli interni pari a 720° (120 volte 6) ed ogni angolo interno è di 120° (20 volte 6). 
Nel decagono, ogni angolo interno misura 144° (24 volte 6), mentre la somma dei dieci angoli interni ammonta a 1440° (240 volte 6). 
Ci sono poi i quadrilateri come quadrato e rettangolo, formati da quattro angoli interni di 90° (15 volte 6) la cui somma porta a 360° (60 volte 6). Ampiezza questa che ritroviamo nella circonferenza del cerchio (angolo giro di 360°), ma anche nella somma degli angoli esterni di un qualsiasi poligono.[18] Nei solidi platonici, troviamo cadenze di 6 e suoi multipli nel numero degli spigoli totali e non solo. Il tetraedro presenta 6 spigoli (1 volta 6), l’ottaedro 12 spigoli (2 volte 6) e 6 vertici (1 volta 6), il cubo ha 12 spigoli (2 volte 6).
Il dodecaedro presenta 12 facce (2 volte 6) e 30 spigoli (5 volte 6).
L’icosaedro 12 vertici (2 volte 6) e 30 spigoli (5 volte 6).

Tornando a noi, grazie a Goldbach ed Eulero, sappiamo che l’identità di un numero intero maggiore di 5 può essere scritta come somma di tre numeri primi.

Un passo di per sé importante che però, da solo, non spiega il criterio con cui questi numeri primi vadano a disporsi lungo la semiretta dei numeri naturali. Fanno fede le domande che i matematici continuano a porsi sulla complessa questione.

Dato che la verità ama spesso nascondersi dietro cose semplici, ci siamo appellati a questa idea, prendendo a riferimento le congetture prima esposte come possibili fonti di ispirazione.

Tutto faceva pensare che un’eventuale ricerca da parte nostra poteva, a sua volta, orientarsi sulle classiche operazioni tra numeri interi come addizione, sottrazione, divisione, moltiplicazione, ecc..

Iniziando dalla “Congettura forte di Goldbach” (che include quella dei “tre primi”) seppure per altra via, abbiamo ricondotto la proprietà additiva al nostro caso. In che modo? Riducendo da tre a due i numeri primi occorrenti per i calcoli.

Per fare questo, andava superato un primo problema: la somma di due numeri dispari, come del resto sono tutti i numeri primi (eccetto il 2), non può che dare luogo ad un numero pari.

Ne deriva che sommando tra loro due numeri primi eccetto il 2, il risultato vada sempre a cadere su un numero pari, come previsto dalla “Congettura forte”. I numeri pari individuati applicando tale metodo, risultano talvolta distanziati di una sola unità (in eccesso o per difetto) dal numero primo ad essi più prossimo.

Il numero primo 109 ad esempio, sarà affiancato dai numeri pari 108 e 110 (il numero 108 è dato dalla somma dei numeri primi 47 e 61 e il numero 110 dalla somma dei numeri primi 43 e 67). Il numero primo 373 sarà affiancato dai numeri pari 372 (313+59) e 374 (313+61).

Lo stesso accade con il numero primo 149, affiancato dai numeri pari 148 e 150. Solo per fornire alcuni esempi tra i tanti possibili. La cosa ricorda un po’ il vecchio gioco da tavolo della “battaglia navale” dove i colpi sparati, spesso, finiscono per cadere a fianco delle navi senza affondarle.

Ecco perché, sorvolando sull’aspetto ludico della questione, va annunciata l’entrata in scena del numero 1, vero e proprio emarginato dalla grande famiglia dei numeri primi nonostante le strette analogie.

La sua esclusione è stata decretata dai matematici per far quadrare i conti con il Teorema fondamentale dell’Aritmetica.[19] 

Ricorrere al numero 1 da parte nostra per ottenere risultati auspicati, non costituisce di per sé una novità. Il già citato matematico greco Euclide (325-265 a. C.), nel Libro IX (preposizione 20) dei suoi Elementi, adottò quel numero per dimostrare l’infinità dei numeri primi con il metodo della tecnica dimostrativa della reductio ad absurdum (dimostrazione all’assurdo).[20] 

Anche il teologo, filosofo e matematico francese Marin Mersenne, alcuni secoli fa, fece ricorso al numero 1 per esporre una sua congettura sui numeri naturali.

Marin Mersenne, matematico (1588-1648)

Cogitata Physico Mathematica (1644)

 

Mersenne verrà ricordato per una successione di numeri detta appunto numeri di Mersenne. Di particolare rilievo i numeri primi che compaiono in tale successione. Nel suo libro Cogitata Physico Mathematica, pubblicato nel1644, Mersenne dimostrò che un numero è primo, se inferiore di uno rispetto ad una potenza di 2.

In altre parole, un numero 2ⁿ-1 è primo se n è uguale ai numeri primi 2, 3, 5, 7, 13, 17,19, 31, 67, 127, 257 e nessun altro valore prima di 257. Ecco alcuni esempi applicativi della formula: n₂=2²-1=3; n₃=2³-1=7;  n₅=2⁵-1=31, ecc.. Tale congettura, nei secoli a seguire, si rivelò vera solo in parte. Questo a causa delle difficoltà di calcolo incontrate dal matematico in presenza di valori di volta in volta sempre più elevati. Agli inizi del secolo scorso infatti, si è scoperto che 2²⁵⁷-1 non è un numero primo. Il lavoro di Mersenne ha comunque destato molta ammirazione tra i matematici per i risultati raggiunti senza l’ausilio di una macchina calcolatrice.[21]

Il numero 1 sembrava dunque in grado di svolgere un ruolo importante nel nostro ragionamento. Se tale numero, per assurdo, fosse stato un numero primo, tutto avrebbe ruotato attorno alla somma di tre numeri primi veri e propri, come previsto dalla “Congettura debole di Goldbach”.

Per altro, pare che all’epoca di Goldbach il numero 1 in questione fosse annoverato tra i numeri primi. Comunque sia, le cose in seguito sono cambiate.

Data l’impossibilità per noi di perseguire quella strada nel rispetto delle vigenti regole matematiche, siamo ricorsi al numero 1 “non primo” ovvero, il più piccolo numero dispari che si incontra dopo lo zero, nella semiretta dei numeri naturali.

Ne deriva che, sommando tra loro due numeri primi partendo dal più piccolo, il 2 (nel nostro caso utile solo per risalire al valore del numero primo 5), aggiungendo 1 al risultato ottenuto, si approda ad un numero primo di maggior valore. Seguono alcuni esempi:

5=(2+2) + 1; 7=(3+3) + 1; 11=(7+3) + 1; 13=(7+5) + 1, 17=(11+5) + 1; ecc..

Da qui, passare per gradi a numeri primi di valore sempre più alto è un percorso logico e scontato. Unico accorgimento da prendere, escludere di volta in volta i risultati cadenti su numeri pari e dispari non primi, estranei agli scopi prefissati.[22] A tal fine, può essere di aiuto ricorrere ad una sorta di crivello ispirato a quello di Eratostene, come quello qui proposto che va da 2 a 100. Metodo che lascia in essere i soli numeri primi (in colore nero) escludendo tutti gli altri.[23]

Il tipo di crivello, all’occorrenza, può essere esteso a sequenze di numeri naturali ben più ampie.

Nota: Per l’assegnazione dei colori ai vari numeri primi 2, 3, 5, 7 e loro multipli, si è proceduto iniziando dal numero primo più piccolo, il 2 (colore blu). Tale colore è stato assegnato a tutti i multipli di 2, fino al raggiungimento del numero 100. Lo stesso vale per il numero primo 3 e suoi multipli (colore rosso), il numero primo 5 e suoi multipli (colore giallo) e il numero primo 7 e suoi multipli (colore grigio). Nel caso di numeri raggiunti da più contatti successivi (ad esempio il numero 30 viene raggiunto da multipli di 2, 3 e 5), questi prendono il colore del numero primo che, con i suoi multipli, ha preceduto gli altri nel raggiungere la posizione.  

Serve ribadire che il nostro intento, non era tanto quello di determinare aspetti già noti come può essere il valore dei numeri primi stessi, quanto partire da questo dato per appurare l’esistenza o meno di una relazione matematica a monte, in grado di dirci come e perché, tali numeri primi, vadano a disporsi lungo la semiretta dei numeri naturali con la proverbiale irregolarità che li contraddistingue. Dare ovvero uno sguardo ai retroscena matematici che stanno alla base di un comportamento così eccentrico da rendere arduo ogni tentativo di teorizzare una regola al riguardo. 

Ciò nonostante, la semplice formula che qui proponiamo, è parsa in grado di recepire quanto esposto e in parte, rispondere alle nostre esigenze:

N = (n₁ + n₂) +1

dove

N = numero primo > 3, divisibile solo per 1 o per se stesso 
n₁ = numero primo < N
n₂ = numero primo < N

Il simbolo < sta per “minore di”, il simbolo > sta per “maggiore di”.

Il concetto può essere riassunto in questi termini:

“La posizione di ciascun numero primo maggiore di 3, nell’ambito della semiretta dei numeri naturali, non costituisce un fatto a se stante o casuale.

Detti numeri primi, derivano dalla somma di due numeri primi di minor valore (anche uguali), più 1.

La diversità tra gli addendi in gioco, spiega il motivo per cui, coppie di numeri primi contigui, possono trovarsi a distanze diverse.”

 

Proponiamo alcuni esempi esplicativi della formula proposta, precisando che anche i numeri tra parentesi sono primi:

11 = (7+3) +1 oppure (5+5) +1, ecc.

251 = (101+149) +1 oppure (99+151)+1, ecc.

839 = (827 + 11) +1 oppure (821+17) +1, ecc.

853 = (421+431) +1 oppure (839+13) +1, ecc.

7207 = (3593+3613) +1 oppure (7193+13) + 1, ecc. 

10193 = (5009+5183) + 1… e così via dicendo.

Il numero 1 da noi introdotto come costante fissa, svolge un ruolo di collegamento stabile tra il numero primo cercato e le due componenti minori la cui somma, come dimostrato, ne indica da vicino la presenza.

L’esito finale dell’intera operazione additiva, che include il numero 1, consentirà di determinare il valore reale del numero primo risultante, risalire alla sua posizione e nota questa, alla distanza dal numero primo di minor valore che lo precede lungo la semiretta dei numeri naturali.

Parlando di numeri primi, una formula super partes che “riesca a descrivere in generale il modo con cui questi numeri appaiono”, basandosi solo sull’analisi delle posizioni da essi occupate, senza calarsi nei possibili retroscena matematici che giustifichino tale status, pare difficile da trovare. Proprio per la variabilità che si riscontra, di volta in volta, tra le coppie di addendi legate ai singoli numeri primi presenti.

Non avremo mai coppie di addendi identiche per numeri primi diversi. Addendi che per questo, metaforicamente parlando, divengono una sorta di DNA matematico in grado di trasmettere il proprio patrimonio genetico a ogni singolo numero primo preso a riferimento. Questa è la nostra opinione.

Per chiarire il concetto, torniamo un attimo sugli esempi proposti in apertura da Alessandrini: due coppie di numeri primi 59-61 e 89-97, due vicini e due lontani. Come indicato dall’autore del libro, i numeri primi 59 e 61 sono separati da un solo numero naturale (il 60), mentre 89 e 97 sono separati da sette numeri naturali (90, 91, 92, 93,94,95, 96). Si può anche dire, come il matematico afferma, che tra i numeri 89 e 97 c’è una distanza di 8 (includendo il numero 97 nel conteggio). Applicando la nostra formula N = (n₁ + n₂) +1 alla coppia di numeri primi gemelli 59 e 61 si ha:

59 = (41+17) +1 oppure (29+29) +1 oppure (53+5) +1, ecc...

61 = (41+19) +1 oppure (29+31) +1 oppure (53+7) +1, ecc…

Per ciascuno dei numeri 59 e 61 accade questo: sommando tra loro gli addendi posti tra parentesi, aggiungendo 1 al risultato ottenuto, si perviene al numero primo risultante. Oltre a questo, dal confronto tra gli addendi del numero 59 e quelli del numero 61, si evince che almeno uno di essi cambia. Ciò si ripercuote sul singolo valore dei due numeri presi a riferimento, decretandone la reciproca diversità in termini di posizionamento. La differenza aritmetica tra i numeri primi risultanti darà infine la distanza che li separa lungo la semiretta dei numeri naturali. Nel caso specifico, 2 posizioni.

Discorso analogo vale per l’altra coppia di numeri primi più distanti, 89 e 97.

89 = (47+41) +1 oppure (83+5) +1 oppure (71+17) +1, ecc...

97 = (53+43) +1 oppure (89+7) +1 oppure (67+29) +1, ecc…

Anche qui, emerge la reciproca diversità tra gli addendi posti tra parentesi, riferiti ai due numeri indicati. Sorvolando sui dettagli per non ripetersi, la differenza tra i due numeri primi 89 e 97 non può che confermare la distanza di 8 posizioni già indicata dal matematico Alessandrini. Ciò accade per ogni confronto effettuato tra numeri primi contigui.

Siamo prossimi alla conclusione. Alla luce di quanto osservato, non sorprende che il comportamento dei numeri primi abbia creato un certo turbamento tra i matematici. In realtà, quelli che possono apparire come semplici “capricci” matematici, prestano il fianco a regole ben precise, legate ai criteri di divisibilità e la facoltà di poter scomporre un numero in fattori primi.[24] In base a tali principi, è possibile capire a priori se un numero qualunque può essere assegnato all’insieme dei numeri primi oppure no. Constatiamo che la costante mutazione di valore dei numeri naturali, può dar luogo a situazioni assai diversificate dove le rispettive distanze tra numeri primi, possono variare anche di molte posizioni. Nell’intervallo dei numeri naturali compreso tra 1 e 1000, figura una serie ininterrotta di 17 numeri composti (numeri pari e dispari non primi) situati tra i numeri primi 523 e 541). Non c’è neppure equità di distribuzione tra le due parti: nei numeri che vanno da 0 a 100 si contano 25 numeri primi e 75 numeri non primi; tra 400 e 500 i numeri primi sono 17 ed i non primi 83. La cosa funziona così. Sono i criteri di divisibilità a stabilirlo ed essi stanno lì, incuranti di tutto ciò che possa essere tramato alle loro spalle.

Tenendo presente quanto esposto, riteniamo che la formula N = (n₁+n₂) +1, se applicata metodicamente a partire dai numeri primi più piccoli, come 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29 e così via a salire, consenta di individuare gradualmente tutti i numeri primi conosciuti (in base alle possibilità di calcolo). Più che altro, lo ripetiamo, offre a noi un’ipotetica chiave di lettura sulle ragioni che stanno alla base del problema di fondo ovvero, trovare un criterio matematico che spieghi il modo con cui, i numeri primi, vanno a prendere posizione nella semiretta dei numeri naturali.[25] Resta spazio per un’ultima considerazione. Quali vantaggi può portare il presente metodo rispetto alla “Congettura debole di Goldbach” che già, di per sé, consente di risalire ad un numero primo maggiore di 5 sommando tre numeri primi di minor valore? Le affinità tra i due criteri di calcolo sono evidenti. Possiamo però ritenere che la formula N = (n₁+n₂) +1, rispetto all’altra, possa facilitare le operazioni di calcolo riducendo da tre a due i numeri primi da sommare.

La presenza del numero 1 (non primo) da aggiungere infine al risultato ottenuto, sembra non costituire un ulteriore problema. Inoltre, il metodo adottato amplia il ventaglio dei numeri primi coinvolti nel ragionamento, partendo dal più piccolo, il 2. Ciò consente di risalire, come già accennato, al numero primo 5 = (2+2) + 1, escluso dalla “Congettura debole di Goldbach” che parte invece dal 7 = 2+2+3.

Metaforicamente parlando, da questa formula nasce l’idea che i numeri primi gemelli possano davvero dialogare tra di loro, in termini matematici ovviamente. Gli stessi numeri che nell’ambito della coppia “non si parlano” ma che, interagendo in modo appropriato con i gemelli di una coppia successiva, possono farlo. In che modo? Concorrendo al raggiungimento di un obiettivo comune che si concretizza attorno al valore di un diverso numero primo da condividere.[26] 

 

 

  Copertina dell’album Division Bell del groppo rock inglese Pink Floyd (1994)

 

La scelta di adottare la copertina del doppio album dei Pink Floyd “Division Bell” come elemento artistico di chiusura per la nostra riflessione sulla presunta solitudine dei numeri primi, è motivata da più ragioni. In primo luogo perché crea una sorta di ponte ideale con il libro “Matematica rock” di Alessandrini: “un viaggio insolito alla scoperta della matematica in un’ambientazione rock”, dal quale la nostra ricerca ha preso spunto. 

L’immagine di copertina mostra due facce speculari che si guardano in silenzio, facendo però presagire possibilità di dialogo tra le parti. Fatto questo che richiama, in senso figurato, la questione dei legami presenti tra numeri primi gemelli e la loro mancanza di comunicatività che qui abbiamo cercato di confutare in termini matematici. Dal punto di vista testuale, “Division Bell” affronta temi legati alla mancanza di comunicazione. L’ideatore della copertina è Storm Thorgerson, direttore artistico dei Pink Floyd. Le due grandi teste di metallo, ciascuna alta quanto un autobus a due piani, sono state erette in un campo vicino a Stuntney nel Cambridgeshire. Le sculture, ideate da Keith Breeden e costruite da John Robertson, furono posizionate vicine, una verso l’altra e poi fotografate di profilo “formando così, per pareidolia, una terza faccia se viste frontalmente”. Possono dunque essere viste come due volti che si parlano tra loro o come un singolo, terzo volto.[27]

A prescindere dai gusti soggettivi, siamo in presenza di una creazione artistica vera e propria.            

Scusandoci per le terminologie adottate, di sicuro poco professionali agli occhi degli addetti ai lavori, torniamo a precisare che il nostro intento era solo quello di trovare un espediente, un onesto escamotage matematico, qualcosa insomma in grado di dimostrare che anche in contesti apparentemente disordinati, come può apparire la distribuzione dei numeri primi nella semiretta dei numeri naturali, possa celarsi una sorta di implicito ordine matematico che, in qualche modo, ne giustifichi il bizzarro  comportamento.

Non sappiamo se siamo riusciti nell’intento oppure no. Può darsi che le nostre deduzioni presentino involontari errori di approccio al problema o che, alla fine, non portino alcun vantaggio pratico o novità di rilievo rispetto a ciò che già si sa. Nessuna pretesa in tal senso da parte nostra.

Parafrasando il titolo di un noto libro di Davide Lajolo, questa nostra disquisizione sui possibili retroscena matematici legati ai numeri primi, è stata un po’ come provare a... “guardare l’erba dalla parte delle radici”.

A conti fatti, aleggia in noi la vaga sensazione che visti da questa prospettiva, i numeri primi gemelli e gli altri numeri primi in genere, sembrino meno soli di quanto si possa supporre.

 
[clic per ingrandire]
Poster di Nicholas Rougeux basato sulla trasformazione 
dei numeri primi in figure geometriche decorative.
Collection I, Series I
Per gentile cortesia dell'autore dal suo sito web